明日の数学で板書しなくてはならないのですが、ちっともわかりません

明日の数学で板書しなくてはならないのですが、ちっともわかりません。 ωが1の3乗根の1つの虚数解だとしたら、
ωの2n乗+ωのn乗+1は何になるか、説明付きで教えて下さい。
明日までなので、早めの回答が欲しいです。。
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nは整数とする。
この時、全ての整数は、n=3k、3k+1、3k+2、で分類される。
そして、ω^3=1、ω^2+ω+1=0、を使うことになる。
・ n=3kの時、
P=ω^2n+ω^n+1=ω^6k+ω^3k+1=
(ω^6)^k+(ω^3)^k+1=1+1+1=3
・ n=3k+1の時、
P=ω^2n+ω^n+1=ω^(6k+2)+ω^(3k+1)+1=
(ω^6)^k*ω^2+(ω^3)^k*ω+1=ω^2+ω+1=0
・ n=3k+2の時、
P=ω^2n+ω^n+1=ω^(6k+4)+ω^(3k+2)+1=
(ω^6)^k*ω^4+(ω^3)^k*ω^2+1=ω+ω^2+1=0
(別解)ド・モアブルの定理を使えるなら。
ω≠1から、ω^2+ω+1=0。
これを解くと、ω=(-±√3*i)/2=cos(2π/3)±i*sin(2π/3)
この時、cos(2π/3)+i*sin(2π/3)について考えると良い。
何故なら、 cos(2π/3)-i*sin(2π/3)でも結果は同じ。
P=ω^2n +ω^n +1=
{cos(2π/3)+i*sin(2π/3)}^2n+{cos(2π/3)+i*sin(2π/3)}^n+1=
{cos(4nπ/3)+i*sin(4nπ/3)}^2n+{cos(2nπ/3)+i*sin(2nπ/3)}^n+1
2nπ/3=αとすると、P={cos2α+cosα}+i*{sin2α+sinα}+1
sin、も、cosiも、基本周期が2πの周期関数だから、
0≦2nπ/3<2πで考えとよい → 0≦n<3
・ n=0の時、P=3、
・ n=1の時、P=0、
・ n=2の時、P=0・
周期性を考えて、これを一般化すると
・ n=3kの時、P=3、
・ n=3k+1の時、P=0 、
・ n=3k+2の時、P=0。
質問者:rinrin7013さん。2017/12/1921:34:37
◆*は何のことですか
◆w^2+w+1=0はやっていますか?
w^3=1より
w^3-1=0
(w-1)(w^2+w+1)=0
よりw≠1よりw^2+w+1=0・・・①
A=w^2n+w^n+1とするとき、A=(w^n)^2+w^n+1が上の式①に似ていることから推察して
(w^n-1)A=(w^n-1)(w^2n+w^n+1)=w^3n-1=(w^3)^n-1=0
よって、
(w^n-1)A=0
[1]w^n-1=0のとき、すなわちnが3の倍数のときw^nは1になるので
A=1+1+1=3
[2]w^n-1≠0のとき、すなわちnが3の倍数でないとき
A=0
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